日常的にいう「結婚」は、民法に規定がされているもので、民法上は「婚姻」と呼ばれます。
民法731条以下に定められていますが、ざっくりと説明をします。

日本では、男性は18歳、女性は16歳になれば、法律上は婚姻をすることができますが、未成年者が婚姻をする場合には、父母の同意が必要です。
ただ、父母の一方が反対していたら、絶対に婚姻ができないというわけではなく、そのような場合でも、他方の同意があれば可能です(もちろん、成年になっていれば、両親が共に反対をしていても、可能です)。

婚姻は、必ずしも結婚式や披露宴が必要なわけではなく、双方が合意をして、本人の本籍地か所在地の市町村長へ届け出ることによって、効力を生じます。

婚姻は、夫婦になるという新たな身分関係を構成するものなので、本人達の意思が強く尊重されます。
そのため、例えば成年被後見人であっても、成年後見人の同意なしに、婚姻をすることができます。
また、当然ながら、他人が勝手に婚姻届を提出しても、本人に婚姻の意思がない限り、無効です(これは、犯罪にもなり得ます)。
ただし、勝手に婚姻届を作成・提出されて、事実上受理がされてしまうと、これを覆すには、婚姻の無効確認の調停や裁判を行う等、大変な負担が生じるので、そのような危険のある場合には、事前に、届出がされても受理をしないよう、本籍地の市町村長に申し出ておくことも可能です。

現在、夫婦別姓の議論もされていますが、現状では、婚姻によって、夫または妻の氏(姓)を名乗ることになります(戸籍の記載も変動します)。
こうして、ひとたび夫婦となれば、同居をして、お互いに協力し、扶助をし合わなければなりません。
つまり、相手が困窮しているのに、放置して、生活費をあげないというようなことは、法律上は許されません。
また、民法上明文の記載はありませんが、いわゆる貞操を守る義務も生じますので、これに背いて、例えば不貞行為などを行えば、慰謝料の支払義務も負い得ます。

このように、夫婦はお互いに助け合いながら、家庭生活を築いていくことになります。