犯人の逮捕は、警察官しかできないと思っている方も、多いかも知れません。
確かに、通常逮捕は、裁判官の発する逮捕令状が必要なので、誰でもできるわけではありません。
しかし、法律上、現行犯逮捕は、要件を充たしていれば、誰でもできるのです。

刑事訴訟法(以下「法」といいます)213条は、現行犯人は、何人でも、逮捕状なくしてこれを逮捕することができる、と定めています。
「現行犯人」については、法212条1項に定めがあり、現に罪を行い、または現に罪を行い終わった人をいいます。
文字通り、今現に罪を行っているか、行い終わった人が、現行犯人なのです(ただし、判例の解釈は、やや範囲が広くなります)。

また、準現行犯というものもあり、これは法212条2項に定められています。
具体的には、以下の各号のどれかに該当する者が、罪を行い終わってから間がないと明らかに認められるときは、これを現行犯人とみなす、とされています。
①犯人として追呼されているとき。
②盗品や、明らかに犯罪に用いたと思われる凶器、その他の物を所持しているとき。
③身体や衣服に、犯罪の顕著な跡があるとき。
④身元や事情等を尋ねられて、逃走しようとするとき。
要は、このような人はかなり疑わしいというわけです。

このような条件を満たせば、誰でも現行犯逮捕を行うことができますが(ただし、法律上できるというだけで、相手が抵抗や攻撃等をしてくるおそれはあるので、当然ながら、絶対に逮捕をしなければならないわけではありません)、逮捕をしたその後はどうするか?
ご想像の通り、直ちに警察官等に引き渡さなければなりません。
法214条は、検察官、検察事務官及び司法警察職員以外の者は、現行犯人を逮捕したときは、直ちにこれを地方検察庁もしくは区検察庁の検察官、または司法警察職員に引き渡さなければならない、としており、検察官へ引き渡しても良いのですが、通常は警察官でしょう。

以上より、犯行を目撃したが、警察官が現場に来るのを待っていては犯人に逃げられてしまうというような場合には、現行犯逮捕をしても許される、ということになります。