内容証明郵便は、いつ、どのような内容の文書(郵便物)が、郵便局に持ち込まれたかを、郵便事業株式会社が証明してくれるものです。

弁護士が依頼を受けて、相手方に重要な通知を出す時は、これを利用することが多いです。
なぜ、このような郵便が必要なのかは、容易に想像がつくと思いますが、「私は、この時点で、このような内容の通知書を、間違いなく送りましたよ。」という証拠を残すためです。
これがあれば、後で「通知をした」「されていない」という争いになったとしても、ほぼ確実に、そのような通知をしたことが証明できるわけです(実際には、内容証明だけでなく配達証明というものも大切なのですが、これについてはまた別途)。

ただし、内容証明郵便を取り扱っている郵便局は、主要な郵便局に限られますし、文書の文字数・行数の制限や、同じ内容の文書を3通持参する必要等もあるので、詳しいことは、事前に確認をしておいた方が良いでしょう。
最近は、便利になって、インターネットで24時間手続の可能な、電子内容証明サービス(e内容証明)というものもあります。

内容証明郵便は、弁護士にとっては、利用したことのない者はいないであろうほど、身近なものですし、弁護士でない人でも、節目節目の意思表示を証明するのに、大変有用なものです。